(vergl. Bern. Mitth. 1850) eine Reihe von Parallelen im Abstande a 45mm, brach aus einer Stricknadel ein Stückchen von 136mm Länge heraus, warf Letzteres serienweise je 100 mal auf die Tafel, nach jedem Wurfe die Tafel etwas drehend, und notirte, wie gross die Anzahl q der Fälle war, in welcher während jeder Serie die Nadel eine der Parallelen kreuzte. Ich erhielt so, wenn m die Anzahl der Fälle bezeichnet, in denen bei 50 solchen Versuchen ein gewisser Werth von q erhalten wurde:

Die Erfahrungs wahrscheinlichkeit mit der Nadel einen Strich zu treffen, ist also nach 6

w=0,5064 +0,0083

Bezeichnet aber den Winkel, welchen die Nadel bei einer ihrer Lagen mit einer Senkrechten zu den Parallelen macht, so ist, wie Rudolf Merian (Basel 1797; erst Kaufmann, dann Professor der Mathematik in Basel) bei Anlass meiner Versuche hervorgehoben hat, die entsprechende Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens

also (36) die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Lage ein Zusammentreffen statt habe

und daher, wenn man w durch die entsprechende Erfahrungs wahrscheinlichkeit ersetzt, π gewissermassen durch solche Wurfversuche gefunden werden kann. Für obige Zahlen erhält man nach 10 und 8

so dass also wirklich innerhalb der Fehlergrenze richtig bestimmt ist. Für weitere Anwendungen vergleiche z. B. 224.

210. Die überschüssigen Gleichungen. Ist m<n, und hat man n Gleichungen der Form

zwischen m Unbekannten x, y, z,... und gewissen Bekannten a, b,..., von denen wenigstens einige durch Beobachtung bestimmt worden sind, so werden keine Werthe von x, y, ... allen diesen Gleichungen vollkommen genügen, sondern es werden sich die Gleichungen 1 durch Substitution irgend solcher Werthe auf

ax+by+cz+...+h=f

reduciren, wo die kleinen Grössen f ein Maass für die Fehlerhaftigkeit dieser Annahmen bilden. Quadrirt und addirt man letztere Gleichungen, so erhält man

x2a2+ y2 b2 + z2 c2+...+2xy&ab+
Σ Σ

+2xzac+...+2xah+2yZbh+... = Σ f2 3 und für die besten Werthe der x y z... werden nach dem Grundsatze der Methode der kleinsten Quadrate diejenigen gelten müssen, welchef zum Minimum machen, d. h. für welche nach den Regeln der Differentialrechnung

werden, oder also welche aus den nach 3 und 4 gebildeten m Gleichungen

Σ

xa + y 2 ab +zac+...+ 2 a h = 0
xab+ y Σ b? + z be +...+2bh = 0

berechnet werden,

:

Gleichungen, welche offenbar direct aus den Gleichungen 1 hervorgehen, wenn man jede derselben mit dem Factor multiplicirt, welchen x1 oder y1... in derselben hat, und alle so erhaltenen Gleichungen, welche in Beziehung auf dieselbe Unbekannte gebildet worden sind, addirt.

Für Anwendungen der im Texte enthaltenen, und wohl keiner weitern Begründung bedürfenden Lehren, sowie der Methode der kleinsten Quadrate überhaupt, mag z. B. auf 224, 328, 342, 375, 376, 413, etc. verwiesen, und hier nur noch die historische Notiz beigefügt werden, dass sich schon lange vor Gauss und Legendre, der vortreffliche Tobias Mayer in seiner „Abhandlung über die Umwälzung des Mondes um seine Axe (Kosmographische Nachrichten und Sammlungen auf das Jahr 1748. Nürnberg 1750 in 4.)" die Frage stellte, wie Unbekannte zu bestimmen seien, wenn die Anzahl der Gleichungen ihre Anzahl übertreffe, und schon damals auf ganz rationelle Weise aus den ihm vorliegenden 27 Gleichungen die zur Berechnung der drei Unbekannten nöthigen drei Normalgleichungen bildete. Vergl. 394.

XXI. Die Messungen mit Kette, Kreuzscheibe und Messtisch.

211. Die practische Geometrie. Die sog. practische Geometrie. (Topographie, Feldmessen), aus der sich wahrscheinlich in alten Zeiten die reine Geometrie erst herausbildete, hat den speciellen Zweck, mit Hülfe einzelner Längen- und Winkel-Messungen, und daran gelehnter Constructionen oder Rechnungen eine Reihe von Puncten auf dem Felde ihrer gegenseitigen Lage nach zu bestimmen, und so Anhaltspuncte, sei es für die Verzeichnung oder Berechnung einzelner Grundstücke, sei es für Entwerfung eigentlicher Karten zu erhalten. Während die grössern, sog. geodätischen Operationen dieser Art, bei denen die Gestalt und Grösse der Erde theils bestimmt, theils wenigstens in Betracht gezogen werden soll, und ebenso die sog. chorographischen Regeln zur Entwerfung von Kartennetzen, am Besten erst in Verbindung mit der Astronomie behandelt werden (siehe XL und XLI), so schliessen sich dagegen die einfachern Mess-Operationen ganz schicklich als ein Uebungsfeld an die Geometrie an.

Für praktische Geometrie sind namentlich folgende Werke zu vergleichen: Hutton, A Treatise on Mensuration both in Theory and Practice. London 1771 in 4. (2. ed. 1788 in 8.), - Joh. Tobias Mayer (Göttingen 1752 — Göttingen 1832; Sohn des Astronomen Tobias Mayer; Professor der Mathematik und Physik zu Altdorf, Erlangen und Göttingen), Praktische Geometrie. Göttingen 1778-1783, 3 Bde. in 8. (4. Aufl. in 5 Bänden 1814-1818), Louis Puissant (La Ferme de la Gastellerie im Dép. Seine-et-Marne 1769 Paris 1843; Professor der Geodäsie zu Paris und Mitglied der Academie), Traité de topographie, d'arpentage et de nivellement. Paris 1807 in 4. (2 éd. 1820), Lacroix, Manuel d'arpentage. Paris 1825 in 16. (5 éd. 1834; deutsch von Unger, Gotha 1827 in 8.; ital, Milano 1831 in 16. und später), Antonio Maria Bordoni (Pavia 1789 Pavia 1860; Professor der Mathematik, Geodäsie und Hydrometrie zu Pavia), Trattato di geodesia elementare. Milano 1825 in 8. (2 ed. Pavia 1843), Crelle, Handbuch des Feldmessens und Nivellirens. Berlin 1826 in 8., Hermann Umpfenbach (Mainz 1798

Giessen 1862; Professor der Mathematik zu Giessen), Praktische Geometrie. Frankfurt 1834-1835, 2 Bde. in 8., Friedrich Wilhelm Barfuss (Apolda 1809; Lehrer der Mathematik in Weimar), Handbuch der höhern und niedern Messkunde. Weimar 1842 in 8. (3. A. 1854), William Simms (Birmingham 1793 Carlshalton 1860; Mechaniker in London), On the principal mathematical Instruments (6. ed. London 1844 in 8.), C. F. Schneitler, Die Instrumente und Werkzeuge der höhern und niedern Messkunst Leipzig 1848 in 8. (2. A. 1852), und: Lehrbuch der gesammten Messkunst. Leipzig 1851 in 8. (2. A. 1854), J. Lemoch, Lehrbuch der praktischen Geometrie. Wien 1849, 2 Bde. in 8., Karl Engelbreit, Die Instrumente der Geodäsie. Nürnberg 1852 in 8. mit Atlas in fol., Friedrich Hartner, Professor der praktischen Geometrie in Gratz und Wien: Handbuch der niedern Geodäsie mit einem Anhange über die Elemente der Markscheidekunst. Wien 1852 in 8. (2. A. 1856), K. M. Bauernfeind, Professor der Ingenieurwissenschaften zu München: Elemente der Vermessungskunde. München 1856-1858, 2 Bde. in 8. (3. A. 1869), Samuel Alsop, A Treatise on Surveying. Philadelphia 1857 in 8., Fr. Baur, Lehrbuch der niedern Geodäsie. Wien 1858 in 8., Georg Christian Conrad Hunäus (Goslar 1802; Professor der praktischen Geometrie zu Hannover), Die geometrischen Instrumente der gesammten praktischen Geometrie. Hannover 1864 in 8., P. Breton de Champ, Traité du levé des plans et de l'arpentage. Paris 1865 in 8., Jakob Rebstein, Professor der Mathematik zu Frauenfeld: Lehrbuch der praktischen Geometrie, mit besonderer Berücksichtigung der Theodolitenmessungen. Frauenfeld 1868 in 8.,

etc."

212. Die Setzwaage und die Libelle. Da man sich sämmtliche zu bestimmende Puncte auf eine horizontale Ebene (oder bei grösserer Ausdehnung auf eine mit der Erde concentrische Kugelfläche) projicirt denkt, und einerseits diese Projectionén, anderseits die Längen der Proijcirenden (die Höhen) bestimmen soll, so bedarf man `vor Allem ein Mittel, eine horizontale Ebene zu erkennen oder herzustellen. Hiezu kann die sog. Setzwaage dienen, d. h. ein gleichschenkliges Dreieck, in dessen Scheitel ein sog. Loth aufgehängt ist; denn, wenn das Loth über der Mitte der Basis einspielt, so ist letztere horizontal, und wenn somit die Setzwaage auf eine Gerade oder nach zwei zu einander senkrechten Richtungen auf eine Ebene gestellt, und Gerade oder Ebene so lange verändert werden, bis das Loth einspielt, so sind auch sie horizontal. Genauer aber ist die sog. Libelle, welche aus einer cylindrischen, im Innern nach oben kreisförmig ausgeschliffenen, mit einer leicht beweglichen Flüssigkeit (Aether) bis auf eine Luftblase gefüllten Röhre besteht, und gewöhnlich in messingener Fassung über einem Lineale aufgehängt ist. Die Mitte der Luftblase nimmt beständig den höchsten Punct ein, und wenn man die Libelle in zwei Lagen auf eine um n geneigte Gerade aufsetzt, und je an der vom einen Ende auslaufenden Theilung den Stand der beiden Blasenenden abliest, so hat man

wo v den Winkelwerth eines Theilstriches bezeichnet, und hieraus

V

Um v zu bestimmen, befestigt man die Libelle auf ein um eine Axe drehbares Fernrohr, bringt nach und nach durch Drehen dasselbe Blasenende mit zwei Theilstrichen zum Einspielen, und liest entweder an einem an der Axe befindlichen Theilkreise, oder an einer in bekannter Distanz aufgestellten Messlatte je die Stellung des Fernrohrs ab (vergl. 221.) Bezeichnet ferner d den v entsprechenden Bogen und r den Radius der Krümmung, so ist (129) r. v. Sin 1" = d, und wenn daher z. B. für v 1", d = 1mm werden soll, so muss r 206m sein. Bei der Libelle ist endlich wohl zu beachten, dass jede ungleichmässige Erwärmung störend wirkt, da die Blase immer gegen das wärmere Ende hinstrebt.

=

=

Setzwaage und Loth sind wahrscheinlich sehr alt, Letzteres kömmt wenigstens schon in dem Almagest des Ptolemäus (V 12) vor. Die Röhrenlibelle wurde dagegen, wie ich 1857 (vergl. Viertelj. der Zürch. nat. Ges. II 306-309) nachwies, zuerst 1666 in einer kleinen Schrift „Machine nouvelle

f

ן

pour la conduite des eaux, pour les bâtimens, pour la navigation et pour la plupart des autres arts. Paris in 8." beschrieben, und ist wahrscheinlich eine Erfindung des Pariser-Mechanikers Chapotot, von dessen Lebensumständen man jedoch leider nichts weiss. Ihr Name ist von Libella (kleine Waage) abgeleitet; die Franzosen heissen sie Niveau d'air zum Unterschiede von dem weit ältern Niveau d'eau (der 268 erwähnten Kanalwaage) der Feldmesser. Die im Texte erwähnte Störung durch Wärme scheint Anne-Jean-Pascal-Chrysostome Duc-la Chapelle (Montauban 1765 - Montauban 1814; reicher Privatastronom zu Montauban) zuerst bemerkt und 1802 in der Connaiss. des temps beschrieben zu haben. Die ältesten Libellen waren mit Weingeist gefüllt, enthielten wirklich eine Luftblase, wurden nicht ausgeschliffen, und an den Enden zugeschmolzen; in neuerer Zeit sind nur noch die gemeinen Libellen so beschaffen, die feinern sind im Innern möglichst gerade ausgeschliffen, werden nahe zu mit Aether gefüllt, und vor dem Schliessen durch Erwärmen luftleer gemacht. Schluss durch Zuschmelzen ist sicherer als der durch eingeschliffene Glasstöpsel, dagegen ist bei ihm allerdings eher ein Zerspringen in grosser Wärme zu befürchten. Wird die Libelle in eine Fassung eingespannt, so ist die Bestimmung von v zu wiederholen, da eine kleine Aenderung im Drucke eine ganz merkliche Formänderung veranlasst. Für die sog. Axenlibelle vergl. 329. Für das Nivelliren von Ebenen wird der Röhrenlibelle oft eine, nur ein einmaliges Aufsetzen erfordernde sog. Dosenlibelle substituirt, ein cylindrisches, mit einer gläsernen Kugelschaale von grossem Radius gedecktes, und bis auf eine kleine Luftblase (deren Stand beim