kels a dienen. Stellt man ihn nämlich über dem Scheitel des zu messenden Winkels auf, visirt nach dem einen Winkelpuncte und dann nach dem andern, stellt nun durch Drehen des Tisches den Diopterlineal wieder auf den ersten Punct zurück, und visirt nochmals auf den zweiten, etc., bis nach n Operationen die letzte Visur einen Winkel von etwas mehr als b Umdrehungen mit der ersten bildet, so hat man, wenn c die Distanz der dem Radius r entsprechenden Puncte dieser Visirlinien ist,

woraus sich a bei Vermeidung constanter Fehler um so genauer finden lässt, je grösser n ist.

Die Einführung des Principes der Multiplication verdankt man dem ältern Tobias Mayer, vergl. dessen Abhandlung „Nova methodus perficiendi instrumenta geometrica et novum instrumentum goniometricum (Comment. Gotting. II 1752)“. Arcus chorda (c: r) lässt sich einer Sehnentafel (VI),

15°

20°

25°

oder einem mit ihrer Hülfe construir

ten sog. geradlinigen Transporteur entnehmen, von dem beistehende Figur, in der zum Auftrage der Sehnen von 5°, 10°, 15°,... ein Decimeter für r Chorde 60o angenommen wurde,

einen Begriff gibt, und dessen Gebrauch dem des allbekannten verjüngten Maassstabes analog ist.

217. Die Pothenot'sche Aufgabe. Die von Snellius zuerst behandelte, später nach Pothenot benannte Aufgabe, die Lage eines Stand punctes D (s. Fig. 1) gegen 3 bekannte Puncte A, B, C zu bestimmen, kann mit dem Messtische auf folgende Weise gelöst werden: Man stellt denselben (am leichtesten mit einer Orientirboussole) so über D auf, dass die verzeichneten Geraden AB und BC den entsprechenden Geraden auf dem Felde möglichst parallel sind, und zieht nun durch die Puncte auf dem Tische und Felde Visirlinien, welche ein sog. Fehlerdreieck a αι P1 71 bestimmen mögen; dann dreht man den Tisch ein wenig (wo möglich über die parallele Lage hinaus) und construirt ein zweites Fehlerdreieck a P2 72; die Verbindungslinien a1 α2, B1 B2, 71 72 (eigentlich nach 124 die Kreislinien a a2 BC, B1 §2 AC, 71 72 A B) schneiden sich in dem gesuchten Puncte. Kennt man (s. Fig. 2) a, b und den in das Viereck ABCD fallenden Winkel a, und hat ß und 7 gemessen, so kann man (98:4; 103) aus

und, und dann (103) r, s, t berechnen. Für annähernde Bestimmungen (z. B. um den Standpunct beim Lothen gegen bekannte Puncte am Ufer festzulegen) kann man nach Horner's Vorschlage und y auf Strohpapier auftragen, und D durch Versuch ermitteln, oder auch, wenn man (s. Fig. 2) A B und ihre Orientirung (8) kennt, die auf D an der Boussole (314) für A D und BD gemachten Ablesungen & und ɛ bei A und B antragen.

Willebrord Snellius löste die im Texte behandelte Aufgabe in seinem ,,Eratosthenes batavus, de terræ ambitus vera quantitate. Lugd. Batav. 1617 in 4." durch Rechnung in der theils durch die beistehende Figur, theils durch das Schema

angedeuteten Weise. Später gab Laurent Pothenot (16.. Paris 1732; Professor der Mathematik und Mitglied der Academie in Paris) in einer 1692 vorgelegten Abhandlung: „Problème de géométrie pratique: Trouver la position d'un lieu que l'on ne peut voir des principaux points d'où l'on observe (Anc. Mém. Par. X)" eine Lösung derselben Aufgabe, welche nun seinen Namen erhielt.

B

a

Die im Texte gegebene constructive Lösung mittelst Fehlerdreiecken Csetzt, da diese klein werden sollen, eine unter dem Tische in Coulissen laufende, etwas drehbare, bei jeder Aufnahme irgend einmal, wenn der Tisch eben orientirt ist, auf Null gestellte und dann festgeklemmte Boussole, eine sog. Orientirboussole, voraus. Es ist diese Methode besonders durch Joh. Georg Lehmann (Johannismühle bei Baruth 1765 Dresden 1811; Director der Plankammer in Dresden), vergl. den zweiten Band seiner „Lehre vom Situationszeichnen. Dresden 1812, 2 Bde. in 8. mit Atlas in fol. (5. A. 1843)“, behandelt worden, sodann von Friedrich August Wilhelm Netto (Leipzig 1783 — ?; Lehrer der militärischen Messkunst in Dresden und Berlin), vergl. sein „Lehrbuch der gesammten Vermessungskunde. Berlin 1820-1825, 2 Bde. in 8.*, etc. Eine andere constructive Lösung, welche (vergl. A. N. 430) Bessel und Kulenkamp gaben, besteht darin, dass man auf dem gesuchten Standpuncte D den Messtisch einmal so dreht, dass das an AC gelegte Diopterlineal über C hinaus den Punct C auf dem Felde zeigt, und sodann eine

- zum

nung dürften die daselbst befindlichen Citationen genügen, zum Näherungsverfahren von Horner ist höchstens beizufügen, dass schon Georg Friedrich Brander (Regensburg 1713 Augsburg 1783; Mechaniker in Augsburg) in seiner „Beschreibung eines Universal-Messtisches. Augsburg 1772 in 8." ein verwandtes, wenn auch nicht ganz so praktisches Verfahren lehrte, Näherungsverfahren mit der Boussole ist nichts beizufügen, und für einige andere Methoden kann auf „Gerling, Die pothenot'sche Aufgabe. Marburg 1840 in 8." verwiesen werden. Für die von Lambert gestellte und nach ihm benannte Aufgabe, die relative gegenseitige Lage von sechs Puncten zu bestimmen, wenn an dreien derselben die Azimuthe der drei übrigen bestimmt worden sind, muss ich mich beschränken, auf die hübsche Lösung derselben zu verweisen, welche Georg Daniel Eduard Weyer (Hamburg 1818; früher Assistent der Hamburger-Sternwarte, jetzt Professor der Mathematik und Astronomie in Kiel) in Grunert's Archiv (III 74-75) veröffentlicht hat. Für zwei andere hieher gehörende Aufgaben verweise ich auf 114 und 116.

218. Der Distanzmesser. Hat das Fernrohr des Diopterlineals zu dem horizontalen Mittelfaden noch einen Parallelfaden im Winkelabstande a, und spielt eine an seiner Axe befestigte Spitze über einem getheilten Kreise, dessen Centrum ebenfalls in der Axe liegt, und dessen Nullpunct bei horizontalem Fernrohr mit der Spitze coincidirt, so kann es als Distanzmesser aus Einem Stande dienen; denn stellt man in der Horizontaldistanz x einen getheilten Stab vertical auf, und fällt eine Länge a desselben zwischen die Faden, während der getheilte Kreis die Ablesung ẞ gibt, so hat man die Gleichung

a

2

x Tg (a+B)-x Tgẞ= a oder x = a Ctg a Cos2 - Sin 26 1 wo bei x, wenn die Genauigkeit 1/300 genügt, das letztere Glied, sowie die Veränderung der Bildweite, vernachlässigt werden kann. Die Grösse Ctg a wird am besten bestimmt, indem man den Stab in bekannter Distanz aufstellt. Bei der Stadia der Militär's wird x analog bestimmt, indem man beobachtet, in welcher Distanz vom Scheitel ein gewisses a (z. B. ein Mann) zwischen die Schenkel eines in bestimmter Entfernung vom Auge gehaltenen Winkels passt.

Wolf, Handbuch. 1.

19

1695

a

y

Den im Texte beschriebenen Distanzmesser benutzte Ludwig Wenz (Basel Basel 1772; Professor der Mechanik und Stadtnotar in Basel) schon um die Mitte des vorigen Jahrhunderts, machte darüber an Euler Mittheilung, und beschrieb ihn in der Abhandlung „Solutio famosissimi problematis geometrico-practici de invenienda distantia objecti remoti ope unica et cujuscunque, ut vocant, stationis (Act. Helvet. IV)", - nur hatte er noch keine Parallelfaden, sondern mass die beiden Höhenwinkel (a+p) und ẞ zweier vertical Die erste Gleiüber einander stehender Puncte von bekannter Distanz a. chung 1 geht unmittelbar aus der Figur hervor, und aus ihr folgt a (1 - Tg a Tg3) a Cos Tga (1+Tg')

x=

B

X

a

=

=

(1-Tg a Tg3)
Tg a

Tg (a+f)-Tg ẞ oder die zweite Gleichung 1, mit deren Hülfe bei Vernachlässigung des zweiten Gliedes

y=x. Tgß = a Ctg a. 11⁄2 Sin 2 ß

gefunden wird. Um x und y auf dem Felde ohne eigentliche Rechnung erhalten zu können, haben meine beiden Freunde Johannes Wild (Richtersweil 1814; jetzt Professor der Geodäsie am schweizerischen Polytechnikum) und Joh. Heinrich Denzler (Eglisau 1814; jetzt Katasterdirector in Solothurn), vergl. „Wild, Ueber die topographische Vermessung des Kantons Zürich, nebst Erklärung des dabei angewandten logarithmischen Rechenstabes (Verh. der techn. Ges. in Zürich 1847), einen eigenen Rechenstab construirt, an dem man auf a. Ctg a (die Distanz für ß=0) einstellt, während der gewöhnliche Da die im Schieber Cos, eine Art Schlaufe aber / Sin 23 entspricht. Texte beschriebene Stadia, namentlich für die Artillerie, unzureichend ist, so hat man sie zu ersetzen gesucht, und so entstand unter Anderm der sog. Telometer des französischen Genie-Oberst Goulier, der aus zwei durch ein Band d von 40m verbundenen Apparaten besteht: Der Eine A besteht aus dem einen rechten Winkel gebenden Prisma

IG

α

M'M

C' B

d

B

Auge

X

C

A"

x=d. Ct g.a

P, der Andere B theils aus einem ebensolchen Prisma, theils aus einer planconvexen Linse M', welche gegen eine planconcave Augenlinse M von gleicher Brennweite etwas verschoben werden kann, so dass das Auge bei einem direct gesehenen Gegenstande G auch einen seitlichen Gegenstand Gʻ sieht, und der durch Letztern bestimmte Winkel a angenähert durch die Verschiebung MM bestimmt wird. Soll nun x gemessen werden, so stellt sich A vorläufig in dem einen Endpuncte auf, während B ungefähr senkrecht zu AC in die Distanz d geht; dann bewegt sich A seitlich, bis er durch sein P den andern Endpunct C über B hinaus in C' sieht, und nun verschiebt B sein M' so, dass er A durch M, und C durch sein P nach derselben Richtung in A" und " zu sehen glaubt. Nach zahlreichen Versuchen einer schweizerischen ExpertenCommission kann man so x in 2 Minuten durch einmalige Messung auf 12, in 5 Minuten durch zehnmalige Messung auf 1% genau erhalten.

XXII. Die Messungen mit Theodolit, Spiegelsextant und

Nivellirinstrument.

219. Die getheilten Kreise. Theoretisch kann die Theilung eines Kreises bis in's Unendliche fortgesetzt und mit unbegrenzter Genauigkeit ausgeführt werden, practisch dagegen erreicht man nur zu bald eine theils durch den Radius des Kreises, theils durch die Theilungsmittel und das zu theilende Material (früher Holz, Eisen, Messing, jetzt gewöhnlich Silber und zuweilen Glas) bedingte oberste Grenze. Setzen wir z. B. die Bogenlänge einer Minute 2г:360.60 gleich einer Einheit, so wird r3437,7468, und wenn daher jene Einheit auch nur 1/10" d. d. werden soll, so muss der Radius schon nahe 21/2', oder der Kreis ein sog. fünffüssiger sein. Zudem wird gefordert, dass die Theilstriche scharf und deutlich seien, und man darf daher mit der directen Theilung nicht einmal bis an die Grenzen der Möglichkeit gehen, bei 6-Szölligen Kreisen wohl nicht weiter als bis 10', bei 20-36zölligen bis 2′.

Um die Theilung weiter treiben zu können, wurden in älterer Zeit mitunter Monstre-Instrumente construirt, und häufig die ganzen Kreise durch Sectoren ersetzt; so besass der von Tycho Brahe (Knudstrup bei Helsingborg 1546 Prag 1601; erst königlich dänischer, dann kaiserlicher Astronom) im Jahre 1569 oder 1570 für die Gebrüder Hainzel in Augsburg auf einem Hügel unter einem Zelte aufgestellte Quadrant einen Radius von 17', — ja der Radius des Quadranten (wenn es nicht etwa nur eine Art Gnomon, s. 350, war), an dem der Fürst Ulugbegh in der ersten Hälfte des 15. Jahrhunderts zu Samarkand beobachtete, soll gleich der Höhe der Sophienkirche in Constantinopel gewesen sein. In neuerer Zeit hat man dagegen eingesehen, dass solche grossen und schweren Kreise schädlichen Formänderungen ausgesetzt, auch kaum scharf zu theilen sind, Sectoren noch um so mehr; man geht daher bei tragbaren Instrumenten nur höchst selten über 12zöllige, bei festen Instrumenten nur ausnahmsweise über 3 füssige Kreise hinaus. Für Theilmethoden auf 325 und 328 verweisend, mag noch beigefügt werden, dass zum Reinigen der Theilkreise ein mit Speichel befeuchteter leinener Lappen, bei grösserm Widerstande mit befettetem Finger aufzureibender Lampenruss zu empfehlen ist.

220. Der Vernier. Bei jedem zu Winkelinstrumenten verwendeten getheilten Kreise ist die Stellung eines Index an demselben abzulesen, wobei von Index und Theilung je das Eine fest, das Andere mit der Visirvorrichtung beweglich ist. Um diese Ablesung genauer zu erhalten, wendete man früher Transversaltheilungen an, während jetzt gewöhnlich der Index durch den Nullpunct einer zum Kreise concentrischen Hülfstheilung, des sog. Vernier, ersetzt wird: Ist nämlich z. B. ein Kreis von 10 zu 10′ getheilt, und