bilden, so hat man nach den sich auf die Ebene XY beziehenden Gleichungen 3 und 4 p(s'-s) Cos 90° T. Cos a+T'Cos a' = p(s's) Cos 0° T. Cosẞ+T' Cos ß' p(s'-s) [y, Cos 90°-x, Cos 0°]=T(y Cosa-x Cosp)+T'(y'Cos a'-x'Cos p') oder also 7 8 0=T. Cosa + T'. Cos a' p (s' — s) = T . Cos p+ T'Cos p' p (ss) x1 = T (x Cos ẞy Cos a) + T'(x' Cos p'y' Cos a') Ist MM' ein Element der Kettenlinie, so können wir s'-s=ds, T′=T+dT, dx 2 " dx ds x'=x+dx, y'=y+dy, Cos a= dy ds ds Cosa'= +d. Cos p'=d+d. setzen, und hiefür gehen 7 und dx ds' dy 8, wenn die Unendlichkleinen zweiter Ordnung weggeworfen werden, in d [T. dx dy ds d.[T. -]=p.ds ds px. ds = d [T (xdy - y)]=x.d(T)—y.d(Tdx) 10 über, wo 10 eine einfache Folge der beiden 9 ist, also nicht weiter in Betracht gezogen zu werden braucht. Da aber für B nothwendig dx=ds, so folgt für diesen Punct T = c, und wenn man daher die Spannung in B durch das Gewicht einer Länge h des Fadens darstellt, so ist die Spannung in irgend einem Puncte T=C. ds dx WO cp.h 11 d. h. gleich der Spannung im Puncte B multiplicirt mit der Secante der Neigung der Kettenlinie in jenem Puncte. Es folgt daraus zugleich, dass die Spannung in B die Minimalspannung ist. Mit Hülfe von 11 gibt 9" Zählt man aber die Bogen von B aus, so verschwinden s und dy: dx gleichzeitig, also ist die Constante auch Null, und man hat daher d h. es ist die Bogendistanz des tiefsten Punctes von irgend einem Puncte der Kettenlinie, der Tangente der Neigung in diesem letztern Puncte proportional. Setzt man in der Gleichung, durch deren Integration 12 erhalten wurde, nach 141:1 über, und hieraus folgt durch Integration nach 65:5 wo die Integrations constante weggelassen ist, da für B sowohl x als dy: dx Null werden, also auch sie Null sein muss. Multiplicirt man 13 beidseitig mit wo bei 16' die Integrationsconstante unbedingt Null wird, da s und x in B gleichzeitig Null werden, bei der mit 151:4 übereinstimmenden 16" aber nur unter der schon in der Figur vorgesehenen Bedingung, dass BO=h angenommen wird. Letztere Gleichung zeigt, dass die Kettenlinie zu beiden Seiten von B symmetrisch ist. Ferner folgen aus den 16 und wieder aus 16', wenn 1 die Länge des Fadens ist, b = (h+f) — (h + f − b) = 1⁄2) ( e " + e so dass, wenn ak+k' die Spannweite bezeichnet, ferner 19 20 Da sich nun nach 21 die Grösse n nie weit von der Einheit entfernen kann, so muss nach 22 die Grösse a klein sein, so dass mit genügender Genauigkeit Man kann also, wenn 1, a und b gegeben sind, n nach 21, sodann a nach 23, und endlich h wieder nach 21 berechnen. Um auch noch k und k' zu erhalten, kann man a setzen, so dass nach 20 mit Hülfe von 21 und 22 k' a 2 24 woraus mit Hülfe eines Näherungsverfahrens abgeleitet, und zur Berechnung von k und k' nach 24 verwendet werden kann. In dem speciellen Falle, Wo b=0, ist offenbar auch ẞ=0, also k= 1⁄2 ak'. Tg a, so erhält man nach 12 und 17 mit Hülfe von 98:7 s=h.Tg a y=h. Sec a x= h log y+s Setzt man dy: dx= 26 =hlog Tg (45° Die Kettenlinie ist zur Zeit der Erfindung der Differentialrechnung vielfach behandelt worden, besonders von Johannes Bernoulli, dem wir (vergl. verschiedene betreffende, in seinen Opera omnia gesammelte Abhandlungen) die erste Kenntniss der Gleichung und der Haupteigenschaften verdanken, - und von Leibnitz, welcher bereits die in 151 angedeutete Construction mit Hülfe der Logistik lehrte. Zum Schlusse dieses Abschnittes mögen die in einem festen Systeme von Puncten m, auf welche Kräfte P wirken, herrschenden Gleichgewichtsbedingungen noch in einer etwas andern Weise als im Texte ausgesprochen werden: Wenn Gleichgewicht bestehen soll, so müssen an jedem Puncte, z. B. m1, die direct an ihm wirkenden Kräfte, welche in P1 zusammengefasst sein sollen, mit den Wirkungen im Gleichgewichte stehen, welche die mit ihm verbundenen Puncte m,, m,... auf ihn ausüben, und welche durch (m, m,), (m, m3),... bezeichnet werden mögen. Denken wir uns nun m1 würde, z. B. im Falle einer momentanen Gleichgewichtsstörung, nach einem sehr nahen Puncte n, verschoben, und bezeichnen die Projection dieser Verschiebung auf P1, die sog. virtuelle Geschwindigkeit von m1, mit & P1, diejenige auf (m, m2), welche m1om, mom, oder sehr nahe m, m, n, m2 ist, mit d (m, m,), etc., so unterliegt diess Gleichgewicht nach 229:5 der Bedingung 0 m 2 o P. p,+(m, m2). 8, (m, m2) + (m, m3). 8, (m, m3)+... In ähnlicher Weise wird an m2 Gleichgewicht bestehen, wenn 27' 27" o = P2 . 8 P2 + (m2 m1) . d1⁄2 (m2 m1) + (m, m ̧) . d1⁄2 (m2 m3) +..... u. s. f. für die andern Puncte. Da nun aber offenbar (m, m2) = (m, m,) und 8, (m, m2) + d (m, m1) als Summe der gegenseitigen Verschiebungen von m1 und m, gleich Null sein muss, da ebenso (m, m ̧) = (m, m ̧) und d1 (m, m ̧) -- + d (m, m1)=0, etc., so gibt die Summe aller Gleichungen 27 die allgemeine Gleichgewichtsgleichung welche nichts Anderes als der Ausdruck des sog. Principes der virtuellen Geschwindigkeiten ist, das bereits Guido Ubaldi del Monte (Pesaro 1545-1607; Schüler von Commandino und Gönner von Galilei; FestungsInspector in Toscana) laut seinem „Mechanicorum liber. Pisauris 1577 in fol. (Auch Venet. 1615)", und Galilei laut seinen „,Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e ai movimenti locali. Leida 1638 in 4. (Lat. Lugd. Bat. 1699)" in speciellen Fällen (am Hebel, Flaschenzug, etc.) erkannten, das aber erst Johannes Bernoulli 1717 (siehe seinen von Varignon in die zweite Auflage seiner Mechanik aufgenommenen Brief) allgemein aussprach, und sodann Lagrange an die Spitze seiner Mechanik (vergl. 227) stellte. XXIV. Die reine Dynamik. 235. Vorbegriffe. Den Ort eines sich bewegenden Punctes nennt man seine Bahn, und die Länge desselben vom Anfangspuncte der Bewegung bis zu der, einer gewissen Zeit (t) zukommenden Lage des Punctes, den dieser Zeit entsprechenden Weg (s). — Den Weg, welchen ein Punct, in Folge seines Bewegungszustandes zur Zeit t, in einer Zeiteinheit zurückgelegt oder zurücklegen würde, nennt man Geschwindigkeit (c) zur Zeit t. Die Geschwindigkeitszunahme in einer Zeiteinheit endlich, welche eine Kraft, bei gleichmässigem Fortwirken wie zur Zeit t, verursacht oder verursachen würde, nennt man die der Zeit t entsprechende Beschleunigung (g). Der in 227 und folgenden Sätzen gegebenen Literatur mag hier noch „A. De Presle, Traité de mécanique rationelle. Paris 1869 in 8. beigefügt werden. 236. Die gleichförmige Bewegung. Ist bei einer Bewegung die Beschleunigung g= 0, so heisst sie gleichförmig, und für sie ist Theilt man entsprechend für irgend eine Bewegung den Weg durch die Zeit, so erhält man die ihr zukommende mittlere Geschwindigkeit. Bewegt sich ein Punct gleichförmig in einem Kreise des Radius r, so heisst vc:r Winkelgeschwindigkeit desselben. Bei gleichen Wegen verhalten sich die Geschwindigkeiten umgekehrt wie die Zeiten, bei gleichen Zeiten dagegen wie die Wege. 237. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung. Ist bei einer Be wegung die Beschleunigung g constant, so heist sie gleichförmig beschleunigt, und wenn für t=0 auch c=0 ist, so stellt offenbar 1⁄2 = 1⁄2.gt ihre mittlere Geschwindigkeit vor. Man hat somit g wornach sich alle betreffenden Aufgaben leicht lösen lassen. Bezeichnet den nach Ablauf der Zeit t in einer Zeiteinheit beschriebenen und setzt man daher den Weg in der ersten Zeiteinheit gleich Eins, so stellt die Reihe der ungeraden Zahlen die in den einzelnen Zeiteinheiten beschriebenen Wege dar. 238. Das Parallelogramm der Bewegungen. = mässigen, wenn auch ungleichförmigen Bewegung, ist der Weg s von der Zeit t abhängig, oder eine sog. Function derselben, so dass man im Allgemeinen s F (t) setzen kann. Wirken auf einen Punct zwei Kräfte, so wird er in jedem Momente die Gegenecke des Parallelogrammes einnehmen, dessen Nebenseiten die den einzelnen Kräften entsprechenden gleichzeitigen Wege darstellen, gerade wie wenn jede der Kräfte successive während derselben Zeit allein gewirkt hätte. - Stellen s1 = F1 (t) und s2 = F2 (t) zwei unter einem Winkel a auf einen Punct wirkende Kräfte dar, so sind (entsprechend 228) die Polarcoordinaten des Punctes zur Zeit t durch 81. Sin a =V812+822+2 81 82 Cos a 1 S2+81. Cos a Tg v = r= gegeben. Soll der Punct einen geraden Weg beschreiben, so muss v von t unabhängig, also F2 (t) = A. F1 (t) sein, woraus Sin a Tg v = folgt. Es ist somit der Weg nur für gleichartig wirkende Kräfte gerade, dann aber auch durch eine ebenso wirkende einzelne Kraft darstellbar. r = F1 (t). V1+2 A Cos a + A2 2 Der zweite Theil dieses Satzes ist, glaube ich, zuerst von mir 1852 in der ersten Ausgabe meines Taschenbuches in solcher Weise veröffentlicht worden. 239. Allgemeine Beziehungen zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Für zunehmende Geschwindigkeiten und Beschleunigungen hat man immer (v + Av) At>As>v. At für abnehmende dagegen (v+Av) At<^s<v. At (g+Ag) At>Avg. At (g+Ag) At<^v<g. At so dass As: A t immer zwischen v +▲ v und v, und ebenso ▲ v:▲t immer zwischen g+Ag und g fallen muss, und somit nach der Grenzmethode Hat ein Punct der Masse m die veränderlichen Coordinaten x, y, z, so sind nach 1 zur Zeit t seine Bewegungsmengen nach den Axen die Vermehrungen bezeichnen, welche dieselben in dem der Zeit t Wolf, Handbuch. I. 21 |