con

Dato un individuo arbitrario x, egli rappresentò la classe cui appartiene soltanto l'indivi

duo x.

Il simbolo t», iniziale della parola « ίσος », ρυό esser letto eguale a » (mentre «< » si legge eguale a »).

Ad es: « numero primo Ɔ numero dispari ~ 【 2 › ; anteponendo la scrittura < x ɛ › a ciascuna classe, risulta

« x ɛ numero primo : ~ : ~ ɛ numero dispari.~ cioè: «

2›,

mentre, se mancasse il simbolo davanti al « risulterebbe ‹ x ɛ 2 ». (2)

« = risulta cosi

. . . L'idea rappresentata da decomposta in quelle rappresentate dal ».

Inversamente se ad una classe a appartiene un solo individuo, questo fu rappresentato dal PEANO con la scrittura a dove il simbolo «1» può esser letto a piacere « quell' », « l' », « l'unico »,

Ad es la P

« 2 = numero primo numero pari

è inaccettabile, perchè eguaglia un'individuo ad una classe; è accettabile invece la P

<< 2 (numero primo ~ numero pari) »,

ma da essa non risulta che 2 sia il solo individuo appartenente alla classe considerata, mentre ciò è espresso dalla P

< 2 (numero primo. ~ numero pari)

e «

(2) D'onde risulterebbe l'uso ambiguo anche dei simboli « »

che si può leggere:

‹ 2 è l'unico numero primo che sia pari ».

*

Nelle mie Note di logica matematica › (1) ho chiamato « elemento » ogni classe cui appartenga un solo individuo; e dall' abbreviazione della parola ho tratto il simbolo Elm », che fu adottato dal RUSSEL nella sua notevole monografia < « Sur la théorie des relations ». (2)

I simboli di cui vi ho intrattenuto sono sufficienti, anzi esuberanti, per esporre qualunque teoria speciale (3) senza ricorrere al linguaggio ordinario: semprechè, naturalmente, la teoria di cui si tratta abbia una propria ideografia completa.

La universalità non permette di assimilare

(1) Revue de Mathématiques - t. VI, n. 4 - Bocca, Torino 1899 p. 105. (2) Revue de Mathématiques - t. VII, n. 2 - Bocca, Torino 1901 P. 115.

(3) Tranne quella delle funzioni, per la quale occorrono alcuni altri simboli.

l' ideografia logica alle consuete stenografie (1), ma essa è una vera stenografia, nel senso etimologico della parola; e la sua concisione . consentendo di dar forma semplice e compatta ai concetti più ardui e complessi, eccita il pensiero a varcare i suoi confini abituali e gli impedisce di smarirsi o di estenuarsi. . . Però il suo pregio essenziale è quello di stabilire una perfetta ed immediata corrispondenza fra simboli e idee, eliminando in tal modo la possibilità di quelle interminabili discussioni che traggono origine dal significato ambiguo di qualche parola ed approdano a non rimuovere alcuno dalla propria opinione anteriore.

Allo stesso modo che l'Algebra è l'insieme di tutte le proprietà dei simboli algebrici, la Logica matematica è l'insieme di tutte le proprietà dei simboli logici; essa è dunque la Scienza di cui l' Ideografia è il linguaggio.

... Ma la Logica matematica non differisce soltanto nella scrittura dalla Logica scolastica: giacchè per quelle azioni reciproche fra pensiero e linguaggio cui ho accennato e che ne legano indissolubilmente i progressi il contenuto stesso di questa scienza si è perfezionato con la sua struttura; ed oggi può dirsi che la Logica matematica dopo aver assimilato quanto di buono v'era nella Logica scolastica ed aver meglio precisato le relazioni logiche conosciute moltissime di più intime e di più prima sospettate e che rebbero state scoperte.

complesse ne ha rivelato, non difficilmente per altra via sa

(1) Che abbreviano la rappresentazione grafica dei vari linguaggi naturali senza eliminarne le diversità.

Tanto è vero che mentre nel 1900 il COUTURAT, pure ammettendo che l'école italienne aveva già raggiunto« des resultats merveilleux de rigueur et de subtilité », rimaneva incerto se attribuirli a « l'utilité... du symbolisme logique » ovvero « à la pénétration des savants qui le manient »> invece, nell' Acant - propos del suo libro già citato (p. V, VI), non esita ad affermare che la logique inventée par M. PEANO et pratiquée par toute une école de mathématiciens » è «<l'instrument indispensable per raggiungere < la pureté logique des concepts e >e « la rigueur déductive des raisonnements ».

Ora - come la semplice conoscenza della nomenclatura delle figure uon consente di intravvedere l'importanza della Geometria cosi la sola conoscenza dell' Ideografia logica non permette di indovinare quale ampio sviluppo abbia raggiunto ormai la Logica matematica e quale prezioso, anzi indispensabile, aiuto essa porga cosi per la costruzione che per la critica di qualsiasi teoria deduttiva.

Forse . . . in altra adunanza potrei spigolare qua e là nel vastissimo campo. . (1)

Non già ch' io speri in tal modo di farvi condividere il simpatico e commovente ottimismo di LEIBNIZ, il quale vaticinando il trionfo della Logica matematica affermava : « J'ose dire que ceci est le dernier effort de l'esprit humain et, quand ce projet sera exécuté, il ne tiendra qu'aux hommes d'être heureux, puisqu' ils auront un instrument qui ne servira pas moins à exalter la raison que le télescope ne sert à perfectionner la vue ».

(1) Ed infatti, aderendo al desiderio espresso dagli ascoltatori il prof. Alessandro Padoa fece una seconda comunicazione, sulla Logica matematica e sui principii di Metodologia, nell' adunanza accademica dell'8 marzo 1906.

No la maggior parte degli uomini ha cercato sempre e continuerà a cercare la felicità soltanto nella conquista febbrile del piacere, del danaro e degli onori; ma, sempre e dovunque, si è pur trovata una piccola schiera divenuta oggi più numerosa che per il passato e meno estranea ai godimenti e ai doveri della vita - la quale si compiace di tutto ciò che eleva al di sopra del mare torbido delle passioni, nella immensità imperturbabile della conoscenza, i cui orizzonti divengono tanto più vasti quanto più l' ali del pensiero si fanno rapide e possenti.

ALESSANDRO PADOA